[发明专利]含多柔性结合部梁的拉、压、弯扭耦合边界元法

摘要

本发明公开了含有多个柔性结合部(即柔性支承、边界)的梁的耦合边界元法，包括(1)柔性结合部对梁的反载荷耦合处理方法，(2)含有多个柔性结合部梁的拉压弯扭静态耦合边界元模型，(3)梁的静态耦合边界元算法，(4)柔性结合部对梁的阻尼的处理方法，(5)含有多个柔性结合部梁的拉压弯扭动态耦合边界元模型，(6)梁的动态耦合边界元算法。本发明使梁的解析结果更符合它在机器中的实际状态，可以提高解析的准确性。

主权项

1.含多柔性结合部梁的拉压、弯扭耦合边界元法，其特征在于，包括以下方法：1)柔性结合部对梁的反载荷耦合处理方法以梁含有一个螺栓结合部为代表，根据柔性结合部理论，螺栓结合部反载荷用下式表达：FJ1=∫sP1ds]]>FJ2=∫sP2ds-Σk=1m(Pbk+ΔPbk)]]>FJ3=∫sP3ds]]>FJ4=∫sP3xJ2ds-∫sP2xJ3ds+Σk=1mxk3(pbk+ΔPbk)......(1)]]>FJ5=∫sP1xJ3ds-∫sP3xJ1ds]]>FJ6=∫sP2xJ1ds-∫sP1xJ2ds-Σk=1mxk1(Pbk+ΔPbk)]]>ΔPbk=aEbABlb(uJ2+xk1uJ6-xk3uJ4)......(4)]]>其中：P1，P2，P3分别为结合面上任一点在xJ1，xJ2，xJ3方向接触压力，其中P1，P3为结合面的切向接触压力，P2为法向接触压力，单位为Mpa；(xJ1，xJ2，xJ3)为结合面上任一点在结合部坐标系∑J中的坐标m为螺栓结合部的螺栓总数Pbk为第k个螺栓的预拉力ΔPbk为由工作载荷产生的第k个螺栓的拉力增量s为平面结合面的面积ατ，βτ，αn，βn，a为结合部系数，由结合部数据库查询或实验获取的具有通用性的数据；Eb，Ab，lb分别为螺栓的弹性模量、截面积及螺栓连接长度λ1，λ2，λ3为结合面上任一点在xJ1，xJ2，xJ3方向的接触变形(λ2)为阶跃函数uJ，FJ分别为结合部的相对位移列阵和反载荷列阵由式(1)、(2)、(3)、(4)知FJ＝f(uJ1，uJ2，uJ3，uJ4，uJ5，uJ6)＝f(uJ)              (5)且FJ的各分量是相关的，是非线性耦合关系；例如，FJ1不仅与uJ1有关，还与uJ2，uJ4，uJ5，uJ6有关；当已知uJ时，由式(5)可求出FJ，当已知FJ时，式(5)通过迭代求解，可求出uJ；而结合部的刚度KJ由下式求出：KJ=∂FJ∂uJ=f(uJ)......(6)]]>以上的结合部反载荷是在结合部坐标系中度量的，用式(7)将其转化到梁中心线上，若梁的弯曲中心与扭转中心不重合则分别转化；在梁的中心线上x3＝lk处取∑K坐标系(∑K坐标系方向与梁的坐标系∑O方向相同)；Fk=JJ,kTFJ......(7)]]>uJ＝JJ，kuk                                             (8)Fk为结合部反载荷列阵在∑K中度量值，uk为梁在∑K原点处的位移列阵，JJ，KT为∑K与∑J坐标系之间的雅可比矩阵JJ，K的转置；若一个结合部包含有多个结合面，如图2所示的导轨结合部包含了1、2、3、4四个结合面，其处理方法如下：建立各个结合面的坐标系∑Si(其中xi2为结合面的法线方向)，则第i个结合面反载荷用下式表达：Fsi＝f(usi)                                (9)式(9)具体表达形式与式(1)相同，只是这时设有了与螺栓有关的项。Fsi，usi分别为第i个结合面的反载荷和位移列阵；结合面位移与结合部位移的关系如下：    usi＝Ji，JuJ                                     (10)Ji，J为第i个结合面与结合部坐标系之间的雅可比矩阵。而结合部的反载荷用下式求出：FJ=Σi=1NJi,JTFsi......(11)]]>由式(9)、(10)、(11)可知，对于多平面结合部，式(5)仍然成立；其他类型的结合部(圆柱面、圆锥面、球面、曲面等结合部)可以离散成多平面结合部，按同样的方法处理(对可动结合部在运动方向上按摩擦约束处理)；而对于滚动导轨结合部，滚动轴承结合部等由多个单元结合部(如滚动导轨块、单个滚动轴承等组件)组成的结合部，可使用下式：Fi,J=αui,Jβ]]>uiJ＝Ji，JuJFJ=Σi=1NJi,JTFi,J......(12)]]>其中α，β为单元结合部的特性系数，可由数据库查询或由实验获得，FiJ、uiJ为第i个单元结合部的反载荷及位移列阵，Ji，J为单元结合部与总体结合部的坐标变换矩阵；由式(5)、(7)、(8)看出Fk＝f(uJ)＝f(uk)，就是建立Fk与uJ及uk的关系，即柔性结合部对梁的反载荷之间的耦合关系；2)含有多柔性结合部梁的拉压、弯、扭静态耦合边界元法①中间有一个柔性结合部的梁的耦合边界元模型以梁中间有一个柔性结合部，两端可为刚性结合部或自由边界的例子进行说明，根据边界元法原理，对于不含中间边界的梁的内点与边界(两端)值之间的关系式如下：ua＝[u0  uL]T  ＝[u01  u02  u03  u04  u05  u06  uL1  uL2  uL3  uL4  uL5  uL6]TFa＝[F0  FL]T   ＝[F01  F02  F03  F04  F05  F06  FL1  FL2  FL3  FL4  FL5  FL6]TPi＝[Pi1  Pi2  Pi3  Pi4  Pi5  Pi6]Tuξ＝[uξ1  uξ2  uξ3  uξ4  uξ5  uξ6]T式中：u0，uL，F0，FL分别为梁的两端点位移列阵和力列阵，uξ为中间点位移列阵，H(ξ)，G(ξ)，s(ξ)为系数矩阵，其中H(ξ)，G(ξ)及s(ξ)为ξ的函数(x3＝lξ)，令ξ→0(即X3＝0)和ξ→L(即X3＝L)，得到梁的两端边界值的关系式：[Ha]{ua}+[Ga]{Fa}=Σi=1N[sa]{P1}......(14)]]>式(14)是无柔性结合部，且只有两端有二个边界的梁的边界元模型，其中Ha，Ga为12×12的矩阵，sa为12×6的矩阵；对于有一个中间柔性结合部的梁的边界元模型，按如下方法处理：将中间柔性结合部的约束解除，并将其结合部反载荷Fk作为中间边界载荷处理，并令式(13)中的ξ→k，即X3＝lk，则式(14)改写为：[Ha]{ua}+[Ga]{Fa}=Σi=1N[sa]{Pi}+[s(k)]{Fk}......(15)]]>将(5)式的FJ暂且近似用下式代替FJ≈KJuJ                               (16)由式(7)、(8)及(16)：Fk≈JJ,kTKJJJ,kuk......(18)]]>KJ为结合部的刚度列阵，将式(17)代入式(15)，并将uk与原来的梁的两端边界ua合写在一起处理，将式(15)重新改写为：[Hb]{ub}+[Gb]{Fb}=Σi=1N[sb]{Pi}......(18)]]>其中Hb，Gb变为18×18矩阵，且Hb为KJ的函数，sb为18×6矩阵，ub＝[u0  uk  uL]T，Fb＝[F0  Fk  FL]T，但是Fb中的Fk虚设为零，真正Fk值由迭代求解确定；由于FJ的各个分量是耦合的，因此式(18)中梁的拉压、弯、扭位移也是耦合的；②端部为柔性结合部梁的耦合边界元模型将前述式(13)的ξ→k，而lk→0，用同样的方法即可得端部为柔性结合部梁的耦合边界元模型；同样令ξ→k，而lk→L，即可得两端(X3＝0和X3＝L)为柔性结合部梁的耦合边界元模型；③中间具有多柔性结合梁的耦合边界元模型对于两端为刚性结合或自由边界，中间有多个柔性结合部的梁，包括一个结合部沿梁的轴线方向细分为多个结合部的情况，将式(13)的ξ→k，则lk→l1，l2，…，lk，…，lN，即k＝1，2，3，…，N，N为中间结合部数目，得到的方程形式与式(19)形式相同，只是这时的Hb，Gb变为(12+6N)×(12+6N)的矩阵，Sb为(12+6N)×6的矩阵；④两端和中间均为柔性结合部梁的边界元模型将式(13)中的ξ→k，且lk＝0，l1，l2，…，lN，L，即k＝0，1，2，3，…，N，N+1，其中k＝0，k＝N+1为两端柔性结合部，N为中间柔性结合部数目，由此得到两端和中间都为柔性结合部(且中间可有多个柔性结合部)梁的耦合边界元模型如下：[H]{u}+[G]{F}=Σi=1N[s]{Pi}......(19)]]>式(19)就是含柔性结合部梁的耦合边界元通用模型。3)梁的静态耦合边界元算法所建立的含有多柔性结合部梁的耦合边界元模型的求解算法，其步骤如下：①设定KJ值②由式(19)求出u和F(其中的FJ为虚设的，不是真正的FJ)则各柔性结合部uk求出③根据uk由式(8)求出uJ④由式(5)求出FJ⑤由式(6)求出与uJ对应的KJ将由第⑤步求出的KJ与第①步中设定的KJ比较，若误差大重复步骤①-⑤迭代求解，直至设定的KJ与由uJ求出的KJ之差小于限定值；4)柔性结合部对梁的阻尼的处理方法根据结合部理论，结合面单位面积的阻尼：cτ、cn分别为结合面单位面积的切向阻尼和法向阻尼(单位为MPa·S/μm)，an、bn、sn、hn、aτ、bτ、sτ、hτ为结合面特性系数，由结合部数据库查询或由实验获得，pn为结合面单位面积的法向接触压力，ω为梁的振动角频率，Y1、Y2、Y3为结合面任一点的振幅，其中Y2(即Yn)为结合面法线方向(XJ2)的振幅，Y2、Y3(即Yτ)为切向(XJ1或XJ3)方向的振幅，YJ为结合部振幅列阵(∑J的6个坐标方向)；假定在一个振动周期内cn与cτ的相互影响可以忽略不计，则结合面对梁的阻尼为CJ＝[CJ1  CJ2  CJ3  CJ4  CJ5  CJ6]T                           (22)式中，Xk、XJ分别为结合面上任一点在∑K和∑J坐标系中的坐标，TK，J为∑K和∑J的齐次坐标变换矩阵；5)多柔性结合部梁的动态耦合边界元模型根据梁的纵向(拉压)振动、横向(弯曲)振动、扭转振动理论写出具有两端边界梁的边界元振动方程式如下：[Hd′]·{Y}+[Gd′]·{F}=Σi=1N[Sd′]·{Pi}......(25)]]>其中，Y、F分别为梁两端边界的振动位移的振幅列阵和动态力力幅列阵，Pi为第i个激振力(外力)力幅列阵，Hd′、Gd′、Sd′分别为梁拉压弯扭振动时的系数阵；当梁有柔性结合部时，将结合部约束解除，用结合部对梁的作用的动态力FJd代替，结合部的刚度KJd用复数表达形式，如，     KJd＝KJ+iωCJ                          (26)     FJd≈KJd·YJ                           (27)将FJd项写入式(25)，并将其作为边界动态力处理，则式(25)变为下式，[Hd]·{Y}+[Gd]·{F}=Σi=1N[Sd]·{Pi}......(28)]]>式(28)的Hd阵中包含有KJd，{Y}中包含了柔性结合部的YJ，{F}中虽然包含了FJd，但实际为虚设；柔性结合部可以在梁的端部，也可在中部，可以有多个柔性结合部；从式(23)看出CJ的各坐标分量是相关的，故KJd各元素是耦合的；式(28)即含多柔性结合部梁的动态耦合边界元模型；6)含多柔性结合部梁动态耦合边界元算法，具体步骤如下：①设定KJd的值(即设定CJ)；②解式(28)求出梁的两端及中间边界的值，则YJ求出；③由式(20)、(22)、(23)求出结合部阻尼CJ列阵；④由式(26)计算KJd；⑤将第步④求出和第①步设定KJd进行比较，若误差大，重复第①～④过程，直至其偏差小于限定值。