[发明专利]一种基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法

摘要

本发明公开一种基于PETSc的GCRO-DR算法并行处理方法，(1)并行进行m步Arnoldi迭代，生成子空间Vm+1和hessenberg矩阵(2)串行求解最小二乘问题特征值问题和Reduced QR分解；(3)开始进行迭代，并行进行m-k步Arnoldi过程；(4)并行求解(5)串行求解最小二乘问题和Reduced QR分解；(6)进行下一个迭代步，直至收敛；(7)当求解第二个及以后的系统时，先并行更新回收矩阵Ck和Uk，然后开始迭代，直至收敛。本发明提出的并行实现方法通过调用PETSc库能实现多个节点协同计算，进而可以提高GCRO-DR算法的整体性能。

主权项

一种基于PETSc的GCRO‑DR算法并行处理方法，所述方法主要用于并行求解稀疏线性系统，其特征在于包括如下步骤：(1)求解第一个稀疏线性系统时，设重启(restart)步数为m，回收(recylen)步数为k，先并行进行m步Arnoldi迭代，生成子空间Vm+1和hessenberg矩阵(2)通过将hessenberg矩阵转换成上三角矩阵来求解最小二乘问题的解，其中min表示求解最小值，y为最小二乘解，c为初始残量的2范数与单位向量e1的乘积，该步骤在每个处理器分别进行求解，最后每个处理器都存储了一份y；(3)利用步骤(2)求解得到的y，并行计算线性系统的解x，并利用公式计算残量r的值，其中r为残量；(4)利用国际开源线性代数软件包LAPACK中函数dgeev，求解的特征值和特征向量，并利用recylen个相应于最小特征值的特征向量形成Pk，该步在每个处理器上分别进行求解，最后每个处理器均存储一份Pk；(5)利用步骤(4)得到的Pk，采用PETSc函数多向量更新VecMAXPY计算回收矩阵利用国际开源稠密矩阵计算软件包BLAS函数dgemm计算此时，每个处理器可分别计算Reduced QR分解，并更新回收矩阵Ck和Uk；(6)开始进行迭代，当时残量的2范数小于设定好的阀值时，一直进行迭代，每次先进行m‑k步Arnoldi过程，生成子空间以及生成Bk时，可重复利用Arnoldi过程中稀疏矩阵向量乘的结果，这样减少整个算法稀疏矩阵向量乘次数，进而优化性能；(7)通过PETSc函数向量拷贝VecCopy、向量扩展VecScale、向量范数VecNorm得到(8)求解的解时，其中min表示求解最小值，W和G是子空间矩阵，r是残量，y是最小二乘解，先按照步骤(2)中类似的方式求解ym‑k,然后采用公式计算yk，并组成整体的y，通过上述过程中得到的残量2范数来验证收敛条件；该步骤在每个处理器分别进行；(9)当求解第二个及以后的稀疏线性系统时，先采用修正的Gram‑Schmidt算法由各个处理器协同计算Reduced QR分解，然后进行Ck和Uk的更新，然后进行上述(6)‑(9)步，直至收敛。