[发明专利]一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法

摘要

本发明是一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，具体步骤为：步骤一、多元退化量的建立及数据统计分析；包括(a)、模拟生成退化数据，(b)、退化量分布的选择，(c)、退化轨迹拟合，(d)、加速方程选择；步骤二、选择合适的Copula函数；步骤三、未知参数的估计；步骤四、建立可靠度计算模型；步骤五、预测正常温度应力下O型橡胶密封圈的贮存寿命；本发明考虑到两参数之间的相关性，并且引入了Copula函数描述参数之间的这种相关性关系，使计算更加简单、方便，将形状参数和位置参数都当作时间和应力的函数来处理，使最终的预测结果更加准确。

主权项

一种基于Copula函数多元退化的O型橡胶密封圈寿命预测方法，其特征在于，包括以下几个步骤：步骤一：多元退化量的统计模型建立及数据统计分析；(1)退化数据收集：在进行多元加速退化试验数据收集时，一般假设每个样本都是从总体样本中随机抽取的，每个退化量都是在同一时刻进行测量的，假设产品具有m个性能参数，在每个应力Si(i＝1,2,…k)水平下有ni个样本，在tih(h＝1,2,…ci)时刻对第l个样本的m个性能参数测量，各个退化量数据记为(xil1h,xil2h,...,xilmh)，其中xiljh表示Si应力水平下第l个样本的第j个性能参数在第h个时刻测量的退化值，因此，多元加速退化试验数据如下表所示：Xiljh=X1X2...Xi=x1l1hx1l2h,...,x1lmhx2l1hx2l2h,...,x2lmh.........xil1,xil2h,...,xilmh]]>其中，l＝1,2,…,ni个样本；j＝1,2,…,m；h＝1,2,…,ci次测量时刻；为了得到验证方法正确性的试验数据，可以采用利用参数真值模拟生成二元退化量O型橡胶密封圈的退化数据，模拟生成二元退化数据的方法为：(a)生成服从标准正态分布且独立的随机数z1,z2；(b)x2=a20+exp(d20+c20/T)·tα2+c12·z1+c22·z2;]]>其中c·cT＝Σ，Σ为参数真值；重复上述步骤(a)和(b)生成4个温度应力，每个应力下8个样本的退化数据；(2)退化量分布的选择对多元退化数据进行处理时，首先要确定各个性能参数所服从的边缘分布，一般正态分布和Weibull分布是描述产品退化量最常用的分布模型，同时具有很多优点；对收集到的退化数据，要判断每个性能参数退化量xil1h,…,xilmh服从的分布，可以采用退化量分布的拟合优度检验的Anderson‑Darling方法来分别判断各个性能参数退化量是否符合正态分布或Weibull分布，其中Anderson‑Darling的检验假设统计量为：对应的正态分布的假设检验统计量为：An2=-n-Σl=1n2l-1n{lnΦ(xiljh-μi(th)σi(th))+ln[1-Φ(xi(n+1-l)jh-μi(th)σi(th))]}---(2)]]>对应的Weibull分布的假设检验统计量为：Aw2=-n-Σl=1n2l-1n{ln[1-exp(-xiljhηi(th))mi(th)]+ln[exp(-xi(n+1-l)jhηi(th))mi(th)]}---(3)]]>将试验数据带入式(2)、(3)，可以得到每个性能参数在应力水平Si下各个测试时刻的统计量值，然后对照正态分布和Weibull分布的Anderson‑Darling检验临界值表，可以判断各个测试时刻的数据是否满足相应的分布，计算第j个性能参数在各应力水平下和各测试时刻点的统计量的平均值和对比和的大小，值越小说明数据与该分布的拟合效果更好，可以确定退化数据最符合的分布；(3)退化轨迹拟合由于试验对象是丁腈橡胶O型密封圈，所以根据老化动力学经验公式：P＝B·exp(‑K·tα)两边取对数形式为：‑ln P＝‑ln B+K·tα对压缩永久变形P＝1‑ε；对压缩应力松弛P＝σ/σ0；通过逐次逼近准则可以确定橡胶老化经验常数α的值，逼近准则为：Ij=Σi=14Σl=18Σh=1ci(xiljh-x^ijh)2=Σi=14Σl=18Σh=1ci(xiljh-B^jexp(-Kijtihα^j))2---(4)]]>其中表示tih时刻第j个性能参数的预计值，将退化数据带入式(4)，计算使得当I1和I2的值最小时α1和α2的值；(4)加速方程的选择本发明中的加速应力为温度，所以加速方程可以选择为阿伦尼斯方程，通常在研究退化量的寿命特征时，常常假设位置参数μi(t)是时间和应力的函数，而形状参数σ一般假设为常数处理，这种处理方法在很多时候会与实际情况不符，影响最终可靠性寿命的预测，因此，提出一种可以直观判断形状参数是否与时间和应力水平有关的方法：绘制各个应力水平下形状参数与测试时刻之间的曲线图，观察形状参数的变化趋势，若确定形状参数的值在各应力水平和测试时刻不同，将阿伦尼斯方程结合退化轨迹方程可以给出退化量分布参数与时间和应力水平的关系；μi(t)＝exp(b+a/Si)·t+βiσi(t)＝exp(d+c/Si)·t+γiηi(t)＝exp(b+a/Si)·t+βimi(t)＝exp(d+c/Si)·t+γi其中μi(t)和σi(t)分别是正态分布时的位置参数和形状参数；ηi(t)和mi(t)分别是Weibull分布时的位置参数和形状参数；步骤二：选择合适的Copula函数；在可靠度计算当中需要用Copula函数来描述各变量之间的相关性，因此合理选择相应的Copula函数才能更好的反应各性能退化量之间的相关模式，总结出从以下三步选择合适Copula函数的方法：(1)散点图法：通过绘制原始数据的散点图，大致可以确定退化数据是不是对称分布，以及上尾部和下尾部的变化情况，同时对比几种常用Copula函数的特征可以大致选择一种或几种合适的Copula函数；(2)相关系数检验法：计算原始退化量之间的相关系数，与常用Copula函数相关系数Kendallτ对比，选择更接近的Copula函数；其中几种常用Copula函数的Kendallτ系数计算公式如表1所示：表1 Copula函数相关系数其中θ为各Copula函数模型参数；(3)AIC信息准则：AIC准则适用于用极大似然估计法得到的Copula模型；AIC＝‑2log(MLE)+2k   (5)其中，k表示Copula模型中参数个数；log(MLE)是整体对数似然函数值；如果计算的AIC值越小，说明模型的拟合程度更高；步骤三：未知参数的估计；以二元退化量为例，表示出整体似然函数为：L(θ)=Πi=1kΠl=1niΠh=1ci{c[F1(xil1h),F2(xil2h)]·Πj=12fi(xiljh)}]]>相应的表示成对数似然函数为：lnL(θ)=Σi=1kΣl=1niΣh=1ci{lnc[F1(xil1h),F2(xil2h)]}+Σi=1kΣl=1niΣh=1ciΣj=12lnfi(xiljh)---(6)]]>因此，在整体对数似然函数中要估计的所有未知参数为：Θ＝(a1,b1,β1,c1,d1,γ1,a2,b2,β2,c2,d2,γ2,θ)其中ζj＝(aj,bj,βj,cj,dj,γj)为要估计的边缘分布中的未知参数，θ为Copula函数中的未知参数；由于IFM参数估计法相对计算比较简单、适用性比较强，所以采用IFM方法对未知参数进行估计；(1)边缘分布的参数估计根据边缘分布服从的分布类型，可以得到边缘分布的对数似然函数如下：当边缘分布服从正态分布时：lnLj(ζj)=Σi=1kΣl=1niΣh=1ci{-12ln(2π)-ln(σj(tih))-12[xiljh-μj(tih)σj(tih)]2}---(7)]]>当边缘分布服从Weibull分布时：lnLj(ζj)=Σi=1kΣl=1niΣh=1ci{ln(mj(tih))+(mj(tih)-1)·ln(xiljh)-mj(tih)·ln(ηj(tih))-(xiljhηj(tih))mj(tih)}---(8)]]>其中正态分布和Weibull分布函数中的参数的估计公式为：μ^j(tih)=1nΣl=1nixiljh,σ^j(tih)=1ni-1Σl=1ni(xiljh-x‾ijh)2]]>其中采用最佳线性无偏估计(BLUE)可以得到Weibull分布的参数估计：其中C(ni,ni,l)和D(ni,ni,l)由查可靠性试验表获得，yiljh＝lnxiljh为退化数据xiljh从小到大排序后的结果；得到：gn,n也是查可靠性试验表获得。分别对式(8)采用极大似然估计法可以得到各个边缘分布函数的参数估计值为：和(2)Copula函数模型的参数估计：将求得的边缘分布函数的参数估计值和带入Copula密度函数部分：lnLc(θ)=Σi=1kΣl=1niΣh=1ci{lnc[F1(xil1h),F2(xil2h);θ]}---(9)]]>采用极大似然估计法可得到Copula密度函数的参数估计值至此，已求出了所有的未知参数估计值：步骤四：建立可靠度计算模型；若产品的第j个性能退化量的失效阈值为Dj，正常条件下的应力为S0，则各个性能退化量对应的可靠度函数为：当边缘分布服从正态分布时：Rj(t/S0)=Φ(Dj-θS0(t)σS0(t))=Φ(Dj-[exp(b+a/S0)·t+β]exp(d+c/Si)·t+γ)---(10)]]>当边缘分布服从Weibull分布时：Rj(t/S0)=1-exp[-(DjηS0(t))mS0(t)]=1-exp[-(Djexp(b+a/Si)·t+β)exp(d+c/Si)·t+γ]---(11)]]>若各性能参数之间相互独立，则产品的可靠度可以表示为：R(t/S0)＝R1(t/S0)×R2(t/S0)×…×Rm(t/S0)若各性能参数之间相关，则用Copula函数可以表示产品可靠度为：R(t/S0)＝C(R1(t/S0),R2(t/S0),…,Rm(t/S0)；θ)步骤五：预测正常温度应力下O型橡胶密封圈的贮存寿命；根据可靠度计算公式，将参数估计值带入式(11)得到：R^1(t/S0)=1-exp[-(D1η^S0(t))m^S0(t)]=1-exp[-(D1exp(b^1+a^1/S0)·tα1+β^1)exp(d^1+c^1/S0)·tα1+γ^1]]]>R^2(t/S0)=1-exp[-(D2η^S0(t))m^S0(t)]=1-exp[-(D2exp(b^2+a^2/S2)·tα2+β^2)exp(d^2+c^2/S0)·tα2+γ^2]]]>当性能退化量之间独立时：R^(t)=R^1×R^2]]>当性能退化量之间相关，用Frank Copula函数描述相关性时：R^(t)=-1θ^ln[1+(e-θ^·R^1-1)(e-θ^·R^2-1)(e-θ^-1)]]]>当用二元正态联合分布函数求解可靠度：R^(t)=∫0D2∫0D1(2π)-1|Σ|-12exp[-12(X-μ)TΣ-1(X-μ)]dx1dx2]]>外推正常温度应力下T0＝25时的形状参数和位置参数值，可以计算正常温度应力下的可靠度，其中根据O型橡胶密封圈失效定义为当压缩永久变形率ε≥40％或压缩应力松弛率δ≤80％判定产品失效，则失效阈值可以选择为D1＝0.511，D2＝0.223；将数据分别带入各可靠度计算公式可以得到O型橡胶密封圈在单性能参数、独立、二维正态分布和Frank Copula相关时的可靠度寿命。