[发明专利]一种基于“连接关系-位置”迭代优化的网格修复方法

权利要求书

1.一种基于“连接关系-位置”迭代优化的网格修复方法，其特征在于：具体步骤如下：

步骤一、识别输入的三维网格模型的孔洞区域，利用动态规划方法初始化孔洞区域连接关系，得到具有完整连接关系的初始三维网格模型，即实现孔洞区域的连接关系修复；

其中，输入的三维网格模型记为M⁰，初始三维网格模型记为M；

步骤二、记网格中发生调整的边的个数为number，初始值为0；

步骤三、识别孔洞边界一对特征点，基于特征点及其法向拟合跨越孔洞的特征线，以特征线为导向，调整孔洞区域连接关系，即连接关系优化，具体为：

步骤3.1识别孔洞边界一对特征点，基于特征点及其法向拟合跨越孔洞的特征线；计算孔洞边界顶点所有邻接边的二面角，若值大于θ_f，则该边为特征边，其邻接边界顶点即为特征点；依据特征边确定该点的法向，从而得到孔洞一对边界特征点v_x,v_y以及其对应的法向n₁,n₂；然后利用三次贝塞尔曲线(1)粗略拟合孔洞区域特征线l_B：

B(t)＝v_x(1-t)+(n₁+3v_y-n₂)t(1-t)²+(3v_y-n₂)t²(1-t)+v_yt³,t∈[0,1] (1)

其中，θ_f代表角度，t代表时间，B(t)代表t时刻贝塞尔曲线上一个坐标点；

步骤3.2以步骤3.1拟合的特征线为导向，调整孔洞区域连接关系，具体如下：

步骤3.2.1在特征线l_B上选取采样点集合V_B＝{V_Bi}_i＝1,2…b，将点集V_B向孔洞区域做投影，得到投影面片集合T_B＝{t_i}_i＝1,2…b，投影面片上边构成投影边集合L_B＝{l_Bi}_i＝1,2…b，利用特征点v_x,v_y确定孔洞区域特征线大致方向为向量的方向；

步骤3.2.2从特征点v_x出发，遍历与v_x相邻接投影三角形中的边；首先计算所有与v_x相邻接边与夹角大小，记录夹角最小的边的另一个顶点v_tmp以及夹角值θ₁；然后计算所有与v_x相对的投影边若发生边交换后，形成的新边与夹角大小，记录夹角最小的边对应的另一个顶点v'_tmp以及夹角值θ₂；若θ₁≥θ₂,则连接关系不变，将v_tmp替换特征点v_x；否则发生边交换，number＝number+1，并将v'_tmp替换特征点v_x；

步骤3.2.3判断v_x与v_y是否相等，若v_x＝v_y，则此次连接关系优化结束；否则重复步骤3.2.2；

步骤四、判断number取值是否为0，若number＞0，执行步骤五；否则，结束修复；

步骤五、基于孔洞及其邻域信息，构建基于三角面片表示的三维网格模型局部修复的变分框架，利用增值拉格拉日方法迭代求解孔洞及其邻域的顶点位置，即顶点位置优化；

步骤五，具体包括如下子步骤；

步骤5.1基于孔洞及其邻域信息，构建基于三角面片表示的三维网格模型局部修复的变分框架；

记孔洞区域及其邻域为孔洞局部，输入的模型M⁰的孔洞邻域网格为顶点集合为其中，m是孔洞邻域网格中的顶点个数，孔洞区域为D_H；修复后的网格M的孔洞局部网格为M_H，顶点集合为V＝{v₁,v₂,...,v_n}，边集合为E＝{e₁,e₂,...,e_d}，边长度集合为L＝{l₁,l₂,...,l_d}，内二面角集合为θ＝{θ₁,θ₂,...,θ_d}，其中，n(n＞m)是修复连接关系后的孔洞局部M_H中的顶点个数，d是M_H中边的个数，边集合E中的边e_i的长度即为长度集合L中的l_i，内面角集合θ中的角度θ_i表示共享边e_i的两个三角面片间的内二面角；保持孔洞局部连接关系不变，通过最小化如下(2)式的能量函数得到最优的孔洞局部顶点位置；

其中，是求满足最小的孔洞局部顶点位置，即M_H；为数据项E_fidelity，使得修复后的网格M_H尽可能地逼近给定的初始网格||M_H||_TV为总变差正则项E_regularizer；λ_v(M_H)为数据项截断参数，当v∈D_H时，λ_v(M_H)＝0；时，λ_v(M_H)＝λ＞0；

步骤5.1.1计算数据项，具体通过如下公式(3)计算：

其中，v_i代表修复后网格孔洞局部M_H的顶点集合，V＝{v₁,v₂,...,v_n}中第i项；代表输入的残缺网格孔洞邻域的顶点集合，中第i项；||PV-V⁰||₁表示FV-V⁰的L₁正则化；P表示m×n的投影矩阵，定义如(4)：

步骤5.1.2计算正则项,具体通过公式(5)计算：

其中，l_i代表孔洞局部M_H中边e_i的边长，即边长度集合l＝{l₁,l₂,...,l_d}中第i项；θ_i表示e_i的两个邻接三角面片间的内二面角，(π-θ_i)表示内二面角θ_i的补角；假设边e_i的两个邻接三角面片为Δv₁v₃v₄和Δv₁v₂v₃，边的两端点为v₁，v₃，对应第三个顶点分别为v₂和v₄；定义T₁和T₂分别是三角面片Δv₁v₃v₄和Δv₁v₂v₃的外法向，长度均为||v₁v₃||，T₁和T₂间夹角即为边e_i的二面角补角(π-θ_i)，则l_i|π-θ|＝||v₁v₃|||π-θ|即为T₁和T₂之间所夹弧的弧长；法向量T₁和T₂表示为(6)：

T₁＝cot(θ_4,1,3)(v₄-v₃)+cot(θ_1,3,4)(v₄-v₁),

T₂＝cot(θ_2,3,1)(v₁-v₂)+cot(θ_3,1,2)(v₃-v₂). (6)

其中，θ_4,1,3是边v₁v₄和边v₁v₃的夹角，θ_1,3,4是边v₁v₃和边v₃v₄的夹角，θ_2,3,1是边v₂v₃和边v₁v₃的夹角，θ_3,1,2是边v₁v₂和边v₁v₃的夹角；

采用近似计算的方法计算弧长，定义向量T_mid为指向弧中心，且与T₁和T₂同起点等长度的向量，则T_mid表示为：于是用弦长之和近似表达弧长，即则弧长表示为(7)：

其中，

如公式(7)所示，正则项E_regularizer表示为顶点的线性组合，如公式(8)所示：

其中，K由公式(7)中矩阵装配得到，||KV||₁表示KV的L1正则化；

结合公式(3)和(8)，最小化能量函数(2)写成如下公式(9)：

其中，是求满足λ||PV-V⁰||₁+||KV||₁最小的顶点位置，即V；

步骤5.2利用增值拉格拉日方法迭代求解孔洞及其邻域的顶点位置，即顶点位置优化，具体如下；

步骤5.2.1求解方程(9)转化为如下公式(10)求解带约束的优化问题：

其中，Z＝PV-V⁰，Q＝KV，||Z||₁表示Z的L1正则化，||Q||₁表示Q的L1正则化；是求满足λ||Z||₁+||Q||₁最小的Z，Q；

则根据增值拉格拉日方法将上述约束问题转为求解如下公式(11)的泛函鞍点问题：

其中，λ_Z与λ_Q是拉格拉日乘子；＜λ_Z,Z-(PV-V⁰)＞表示λ_Z和Z-(PV-V⁰)的内积，＜λ_Q,Q-KV＞表示λ_Q和Q-KV的内积；表示Z-(PV-V⁰)的L2正则化，表示Q-KV的L2正则化；r_Z，r_Q是惩罚因子，并且r_Z＞0，r_Q＞0；则优化问题转化为如下公式(12)的鞍点问题：

其中，是求满足变分方程L(V,Z,Q；λ_Z,λ_Q)最小的V，Z，Q；

步骤5.2.2求解优化问题(12)；具体将问题(12)转化为依次求解3个子问题，然后迭代更新拉格拉日乘子，通过如下子步骤实现：

步骤5.2.2A固定Z,Q，求解V，即求解V子问题，V子问题转化如下公式(13)的二次方程形式：

其中，是求满足最小的V；

该问题转化为线性方程求解；

步骤5.2.2B固定V,Q，求解Z，即求解Z子问题，Z子问题转化为如下公式(14)形式：

其中，是求满足最小的Z；

问题(14)有如下公式(15)的封闭形式解：

其中，是取0和中的最大值；

步骤5.2.2C固定V,Z，求解Q，即求解Q子问题，Q子问题转化为如下公式(16)形式：

其中，是求满足最小的Q；

问题(16)有如下公式(17)的封闭形式解：

其中，是取0和的最大值；

步骤5.2.3更新拉格拉日乘子，其中第η+1次的迭代与第η次的关系如下(18)：

步骤5.2.4迭代求解；

令初值依次迭代求解方程(13)，(14)，(16)，更新拉格拉日乘子(18)，直到满足终止条件；

其中，终止条件为：假设连续两次迭代，如η,η+1次迭代，控制顶点的距离记为当ε小于给定的阈值ε₀时，迭代停止；

步骤六、更新number的值为0，即令number＝0；执行步骤三。