[发明专利]一种基于改进L曲线模型函数法的磁性目标磁矩反演方法

权利要求书

1.一种基于改进L曲线模型函数法的磁性目标磁矩反演方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、通过曲率公式对求解正则化参数的L曲线法进行改进，具体包括：

a1、通过磁偶极子阵列模型H_δ＝LM求解磁性目标磁矩的M的过程由于距离系数矩阵L不可逆为不适定问题，H_δ为带误差的磁场强度，因此利用Tikhonov正则化方法构造一个正则化算子去逼近不连续算子，将磁性物质磁矩计算的不适定问题化为一个近似的适定问题；

a2、Tikhonov正则化方法求解的核心为选择合适的正则化参数，但利用L曲线法求解上述问题的时候无法找到准确的正则化参数，因此提出将正则化参数的L曲线法求解过程等价为求泛函ω(α)＝||LM(α)-H_δ||||M(α)||^2γ的极小值，其中α0、γ分别为正则化参数、L曲线法的最大曲率；但该方法中利用ω(α)求解最小值得到正则化参数α的过程为隐函数求解，为了降低计算复杂度，利用模型函数法将求解过程显性化；

步骤二、利用模型函数法将求解过程显性化，具体包括：

b1、由Tikhonov泛函J(α)＝||LM(α)-H_δ||²+α||M(α)||²及求其极小值等价于求解L^*LM+αM＝L^*H_δ的解的正则化方程得

J′(α)＝||M(α)||²,J(α)＝||H_δ||²-||LM(α)||²-α||M(α)||²    (1)

其中L^*为距离矩阵L的伴随算子，将J′(α)代入J(α)得

J(α)+αJ′(α)+||LM(α)||²＝||H_δ||²    (2)

b2、由于J(α)是α的函数为隐式函数，利用简单函数F(α)来近似J(α)的性质，将F(α)代入(2)得F(α)+αF′(α)+||LF(α)||²≈||H_δ||²    (3)

为了利用(3)构造出求解简单函数F(α)的表达式，假设||LF||²≈T||F||²则可以得到

F(α)+αF′(α)+TF′(α)²≈||H_δ||²    (4)

b3、对(4)进行整理得到[(a+T)F(a)]′≈||H_δ||²，上式积分∫[(α+T)F(α)]′dα≈∫||H_δ||²dα得(α+T)F(α)≈||H_δ||²α+c

其中c常数，因此一定存在一个高阶量C使得(a+T)F(a)＝||H_δ||²a+C成立，整理得到分得到F(a)的显式表达式

对上式求导得

由于F(a)与J(a)在(0,+∞)上任意点可导，且定义域及对应法则相同则可以得到

b4、为了将α的求解过程显性化，将(5)和(7)代入w(α)得

当ω(α)′＝0时上式取得最小值，即

2γ||H_δ||²(T+α)²+(2C+2μC)(T+α)-2CT(1+γ)＝0    (9)；

b5、由于(9)中的C、T为待求量，利用J(α)＝||LM(α)-H_δ||²+α||M(α)||²及(5)和(7)通过计算得到

b6、利用(9)式子求解α虽然较求泛函ω(α)＝||LM(α)-H_δ||||M(α)||^2γ的极小值更加简洁，但其为高次方程，解可能不唯一且高阶方程求解更为复杂，因此基于如下引理对(9)进行改进，当初值α₁满足保障规则γ||LM(α)-H_δ||²α||M(α)||²可以生成一个单调连续序列{a_i}，使α_k+1a_k，序列中的每个a_i满足保障规则，其中γ0时存在最小值，根据该引理对a的计算过程进行优化；

b7、因此首先设定初值α₁满足保障规则，当α为α_k时根据上述单调连续序列得到(2C_k+2μC_k)(T_k+α_k)＝-2γ||H_δ||²(T_k+a_k)²+2C_kT_k(1+μ)存在一个单调连续序列{a_i}，使a_k+1a_k时有

(2C_k+2μC_k)(T_k+a_k+1)-2γ||H_δ||²(T_k+a_k)²+2C_kT_k(1+μ)      (11)

b8、对(11)式进行变形得到同时根据a_k+1a_k可以取得到正则化参数的显式求解表达式；

步骤三、通过上述推导公式整理得到改进L曲线模型函数法算法步骤，求得正则化参数：

c1、输入误差项e、H_δ、L、γ，设定正则化参数的初值a₀；

c2、通过L^*LM+aM＝L^*H_δ计算得到磁矩M(a_k)；

c3、通过计算得到

c4、当γ||LM(a_k+1)-y_δ||²a||M(a)||²停止迭代，否则执行c5；

c5、如果|(a_k+1-a_k)/a_k+1|≤e停止迭代否则继续c2；

步骤四、基于改进L曲线模型函数法求出磁测目标的磁矩：

d1、为了验证上述正则化参数求解的准确性，首先利用不含误差的磁矩M及磁场强度H对，模型进行验证；根据已知的磁场强度H数据，基于求得的正则化参数a，代入Tikhonov泛函min J(a)＝||LM(a)-H||²+a||M(a)||²，利非线性共轭梯度法极小化Tikhonov泛函，求得磁矩M与已知的磁矩进行对比，通过相对误差大小验证模型的有效性；

d2、在无误差有效的情况下，考虑到现实情况中测量得到的磁场强度数据H_δ都含有误差，为了验证模型在求解实际问题时的准确性，利用无误差的磁场数据H加入误差e的磁场强度数据H_δ对模型进行验证，求得磁矩M_e与已知的磁矩进行对比，通过相对误差大小验证模型在实际问题中的适用性；

d3、当模型的有效性及适用性被验证后，可以将实际测量的磁场数据代入基于改进L曲线模型函数法的Tikhonov正则化方法来计算磁性目标的磁矩，从而达到更好的研究磁性目标的性质。