[发明专利]一种基于正交多项式的铣削稳定性预测方法

摘要

本发明涉及先进制造领域，具体涉及一种基于正交多项式的铣削稳定性预测方法，本发明采用正交多项式来逼近动力学方程中的状态项、时滞项和周期系数项，采用多个已知时间点及其响应来拟合所需项，减小了计算方法的局部误差，从而提高了预测方法的精度；同时在获得稳定性叶瓣图的过程中，引入H矩阵，而不是直接代入F矩阵进行计算，减小了F矩阵计算过程中的迭代次数，从而节约计算方法的时间，提高计算效率。

主权项

一种基于正交多项式的铣削稳定性预测方法，其特征在于包括以下步骤：①建立铣刀单自由度铣削过程中的动力学方程：x·(t)=Ax(t)+B(t)x(t)-B(t)x(t-τ)---(1)]]>其中，为常系数矩阵，为随时间周期变化的系数矩阵，x(t)表示刀具在t时刻的状态响应，ωn表示刀尖点的固有频率，ζ表示相对阻尼，mt表示模态质量，w表示轴向切削深度，τ表示时滞；h(t)表示瞬时切屑厚度，其表达式为：h(t)=ΣJ=1Ng(φJ(t))sin((φJ(t))[Ktcos(φJ(t))+Knsin(φJ(t))]---(2)]]>式(2)中，N表示铣刀的刀齿数目，Kt和Kn分别为切向和法向的切削力系数，φJ(t)为第J刀齿的角位移，表达式为φJ(t)＝(2πΩ/60)t+(J‑1)·2π/N，窗函数g(φJ(t))定义为：式(3)中，φst和φex分别为第J刀齿的切入和切出角；当采用顺铣时，φst＝arccos(2ae/D‑1)，φex＝π；当采用逆铣时，φst＝0，φex＝arccos(1‑2ae/D)，ae/D为径向浸入比,即径向切深/刀具直径的比值；②将单自由度的铣削过程动力学方程(1)的时滞项τ平均分为m个小区间，则时间步长为其中任意一个时间小区间表示为[ti,ti+1],i＝1,2,3,…m；将方程(1)在时间小区间[ti,ti+1]上进行积分，得到xi+1=eAΔtxi+∫titi+1eA(ti+1-s)[B(s)x(s)-B(s)x(s-τ)]ds---(4)]]>③通过构建一次正交多项式来拟合步骤②中式(4)的状态项x(s)、时滞状态项x(s‑τ)和随时间变化的周期系数项B(s)，具体过程如下：正交多项式族中的参数由确定；式(6)是以ωj,j＝1,2,…,n为权值的关于点集{s1,s2,…,sn}的正交多项式，其中将步骤②中方程(4)的状态项x(s)通过正交多项式逼近表示为：其中ak是多项式的系数，通过确定，其中xj是时间点tj的响应；取(6)式中的通过时间点ti、ti+1和其响应xi、xi+1来拟合步骤②中的状态项；利用(7)式计算α1，并代入si＝ti，si+1＝ti+1可得：所以由(10)式得a0=xi+xi+12---(13)]]>a1=xi(si-ti+ti+12)+xi+1(si+1-ti+ti+12)(si-ti+ti+12)2+(si+1-ti+ti+12)2=xi·-Δt2+xi+1·Δt2(Δt)22=xi+1-xiΔt---(14)]]>将(12)、(13)、(14)式代入(10)式得x(s)=xi+xi+12+xi+1-xiΔt(s-ti+ti+12)---(15)]]>整理得x(s)=(1-sΔt)·xi+sΔt·xi+1---(16)]]>同理时滞项x(t‑τ)、B(t)分别表示为：x(s-τ)=(1-sΔt)·xi-m+sΔt·xi-m+1---(17)]]>B(t)=(1-sΔt)·Bi+sΔt·Bi+1---(18)]]>④构建Floquet转移矩阵,将(16)、(17)、(18)式代入(4)式，可得xi+1=F0xi+(H11Bi+H12Bi+1)xi+(H12Bi+H13Bi+1)xi+1-(H11Bi+H12Bi+1)xi-m-(H12Bi+H13Bi+1)xi+1-m---(19)]]>其中H11=1(Δt)2[(Δt)2·F1-2Δt·F2+F3]---(20a)]]>H12=1(Δt)2[Δt·F2-F3]---(20b)]]>H13=1(Δt)2·F3---(20c)]]>F0＝eAΔt              (21a)F1=∫titi+1eA(ti+1-s)ds=∫0ΔteA(Δt-s)ds=(F0-I)A-1---(21b)]]>F2=∫titi+1eA(ti+1-s)(s-ti)ds=∫0ΔteA(Δt-s)sds=(F1-(Δt)I)A-1---(21c)]]>F3=∫titi+1eA(ti+1-s)(s-ti)2ds=∫0ΔteA(Δt-s)s2ds=(2F2-(Δt)2I)A-1---(21d)]]>方程(19)写为xi+1＝Pi[(F0+H11Bi+H12Bi+1)xi‑(H12Bi+H13Bi+1)xi+1‑k‑(H11Bi+H12Bi+1)xi‑k]   (22)其中Pi＝[I‑H12Bi‑H13Bi+1]‑1       (23)通过方程(22)，得到当前刀齿与上一刀齿响应之间的映射关系，通过矩阵表示如下：xi+1xixi-1...xi+1-m=M11i0...0M1miM1,m+1iI0...0000I...000..................0000I0xixi-1xi-2...xi-m---(24)]]>其中M11i=Pi(F0+H11Bi+H12Bi+1)---(25a)]]>M1mi=-Pi(H12Bi+H13Bi+1)---(25b)]]>M1,m+1i=-Pi(H11Bi+H12Bi+1)---(25c)]]>系统的Floquet转移矩阵表示为ψ＝MmMm‑1…M1                    (26)其中Mi=M11i0...0M1miM1,m+1iI0...0000I...000..................0000I0---(27)]]>⑤计算Floquet转移矩阵ψ的特征值，通过特征值的模判定系统的稳定性，具体的判定准则如下：