[发明专利]杂波环境下基于克拉美罗界的MIMO雷达波形优化方法

摘要

杂波环境下基于克拉美罗界的MIMO雷达波形优化方法属于信号处理领域，该方法是：基于构建的杂波环境下信号模型，推导需估计参数的CRB，而后基于CRB相关准则表述优化问题；为求解所得到的高度非线性优化问题，本发明提出以对角加载为基础的新型优化方法，将非线性优化问题转化为半定规划问题，从而可以高效优化波形协方差矩阵以达到最小化克拉美罗界，进而改善系统参数估计性能；与非相关波形相比，本发明的方法对MIMO雷达系统参数估计性能有着显著提升。

主权项

杂波环境下基于克拉美罗界的MIMO雷达波形优化方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：步骤一、MIMO雷达系统模型的建立基于共置MIMO雷达系统的配置，设为发射波形矩阵，其中i＝1,2,…,M_t表示第i个发射单元的信号，M_t为MIMO雷达系统发射单元的数目，L为发射波形采样数目；假设探测信号是窄带的，且非分散传播，则MIMO雷达所接收的信号表示为：$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+\underset{i=1}{\overset{N_C}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\θ}}_i\right)a_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right)v_c^T\left({\mathrm{\θ}}_i\right)S+W---\left(1\right)$其中为接收信号，M_r为MIMO雷达系统接收单元的数目，为正比于目标RCS的复幅度，为目标位置参数，K为所考虑的距离单元内的目标数目；等式右边的第二项表示由接收器所接收的杂波数据，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C＞＞M_tM_r)为杂波空间采样数量，W表示干扰噪声，其独立于杂波，假设W的列是独立同分布的圆对称复高斯随机向量，均值为0，协方差为未知矩阵B；a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：$a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\mathrm{\τ}}_{M_r}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$$v\left({\mathrm{\θ}}_k\right)={[e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_1\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_2\left({\mathrm{\θ}}_k\right)},...,e^{j2\mathrm{\π}{f}_0{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_{M_t}\left({\mathrm{\θ}}_k\right)}]}^T$式中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和n＝1,2,…M_t为传输时间，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量；经过简化，式(1)被重新表示为：$Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{k}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)v^T\left({\mathrm{\θ}}_k\right)S+H_{c}S+W$其中，表示杂波传递函数，vec(H_c)为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为$R_{H_c}=E\left[\mathrm{vec}\left(H_c\right){\mathrm{vec}}^H\left(H_c\right)\right];$进一步表示为$R_{H_c}=\mathrm{V\Ξ}{V}^H\≥0;$其中，$V=[v_1,v_2,...,v_{N_C}],v_i=v_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\⊗a_c\left({\mathrm{\θ}}_i\right),$i＝1,2,…,N_C，$\mathrm{\Ξ}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\σ}}_1^2,{\mathrm{\σ}}_2^2,...,{\mathrm{\σ}}_{N_C}^2\},{\mathrm{\σ}}_i^2=E\left[\mathrm{\ρ}\left({\mathrm{\θ}}_i\right){\mathrm{\ρ}}^{*}\left({\mathrm{\θ}}_i\right)\right];$步骤二、步骤一所建立的MIMO雷达系统模型的CRB推导考虑参数已知条件下未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T的CRB(即约束CRB)，经过推导，表示如下：C_CCRB＝U(U^HFU)^‑1U^H其中，U满足G(x)U(x)＝0,U^H(x)U(x)＝I；且β_R＝[β_R,1,β_R,2,…,β_R,K]^T，β_R＝Re(β)，β_I＝Im(β)，假设为满秩矩阵；U为设置在x上满足等式约束的g(x)切线超平面，F是关于x的费舍尔信息矩阵；假设复数振幅矩阵β＝diag(β₁，β₂，…，β_K)可准确估计为：g_i(x)＝β_R,i‑1＝0,i＝1,…,Kg_j(x)＝β_I,j‑1＝0,j＝K,…,K则可表示为G＝[0_2K×K,I_2K×2K]，相应的U＝[I_K×K 0_K×2K]^H；经过推导，关于x的F可以表述如下：$F=2\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right]$其中，${\left[F_{11}\right]}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\β}}_i^{*}{\mathrm{\β}}_j{\stackrel{\·}{h}}_i^H\left[{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})\right]{\stackrel{\·}{h}}_j;$${\left[F_{12}\right]}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\β}}_i^{*}{\stackrel{\·}{h}}_i^H\left[{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})\right]h_j;{\left[F_{22}\right]}_{\mathrm{ij}}=h_i^H\left[{(I+(R_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\⊗B^{-1})\right]h_j;$$h_k=v\left({\mathrm{\θ}}_k\right)\⊗a\left({\mathrm{\θ}}_k\right);{\stackrel{\·}{h}}_k=\frac{\∂(v\left({\mathrm{\θ}}_k\right)\⊗a\left({\mathrm{\θ}}_k\right))}{\∂{\mathrm{\θ}}_k},$k＝1,2,…,K；R_S＝S^*S^T；步骤三、基于Trace‑Opt准则对MIMO雷达系统波形进行优化在发射总功率约束下，优化问题可表示如下：$\begin{array}{cc}\underset{R_S}{\min }& \mathrm{tr}\left(C_{\mathrm{CCRB}}\right)\end{array}$s.t.  tr(R_S)＝LPR_S≥0其中，P为发射总功率；将DL方法用到R_S上，可得${\tilde{R}}_S=R_S+\mathrm{\ϵI}>0$其中ε＜＜λ_max(R_S)，λ_max(·)表示矩阵的最大特征值，用替代优化问题中的R_S；而后，基于下述命题将优化问题中的非线性约束转换为线性约束；命题：通过矩阵间的运算与变换，优化问题中的约束可以变成αI≤E≤βI，其中$E={(I+({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}),\mathrm{\α}=\frac{\mathrm{\ϵ}}{{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(B\right)+\mathrm{\ϵ}{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(R_{H_c}\right)},\mathrm{\β}=\frac{\mathrm{LP}+\mathrm{\ϵ}}{{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(B\right)+(\mathrm{LP}+\mathrm{\ϵ}){\mathrm{\λ}}_{\min }\left(R_{H_c}\right)};$基于此命题，优化问题可以通过如下引理1变化为SDP问题；引理1.假设厄米矩阵$Z=\left[\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right]$的C＞0，则当且仅当ΔC≥0时，Z≥0，其中，ΔC＝A‑B^HC^‑1B是Z中C的Schur补；基于引理1，上述优化问题可表述为如下SDP问题：$\begin{array}{cc}\underset{X,E}{\min }& \mathrm{tr}\left(X\right)\end{array}$s.t.  αI≤E≤βI$\left[\begin{array}{cc}X& U\\ U^H& U^H\mathrm{FU}\end{array}\right]\≥0$其中，X为辅助优化变量；步骤四、基于Det‑Opt准则对MIMO雷达系统波形进行优化由步骤三可知，最小化CRB的行列式相当于最大化U^HFU的行列式，因此，基于Det‑Opt准则的优化问题可表述如下SDP问题：$\begin{array}{cc}\underset{E}{\min }& -\log \det \left(U^H\mathrm{FU}\right)\end{array}$s.t.  αI≤E≤βI步骤五、基于最小二乘法拟合R_S求解步骤三和步骤四中的两类优化问题可得到最优E，而后，可得标定如下：$\begin{array}{c}\mathrm{tr}\left(\mathrm{\μ}{\tilde{R}}_{\mathrm{SB}}\right)=\mathrm{tr}\left(({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})\right)\\ =(\mathrm{LP}+M_t\mathrm{\ϵ})\mathrm{tr}\left(B^{-1}\right)\end{array}$其中，μ是一个标量，它满足等式约束；对角负载系数ε＝LP/1000；给定可通过最小二乘方法拟合R_S，其可表示如下：$R_S=\arg \underset{R_S}{\min }\left|\right|{\tilde{R}}_{\mathrm{SB}}-({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})\left|\right|$s.t.  tr(R_S)＝LPR_S≥0上式可等价表述如下：$\begin{array}{cc}\underset{R_S,t}{\min }& t\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& \left|\right|{\tilde{R}}_{\mathrm{SB}}-({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1})\left|\right|\≤t\end{array}$tr(R_S)＝LPR_S≥0基于引理1，上式也可转化为如下SDP问题：$\begin{array}{cc}\underset{R_S,t}{\min }& t\end{array}$$\begin{array}{cc}s.t.& \left[\begin{array}{cc}t& {\mathrm{vec}}^H({\tilde{R}}_{\mathrm{SB}}-({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}))\\ \mathrm{vec}({\tilde{R}}_{\mathrm{SB}}-({\tilde{R}}_S\⊗B^{-1}))& I\end{array}\right]\end{array}\≥0.$tr(R_S)＝LPR_S≥0