[发明专利]一种利用噪声提高稳健估计的方法

权利要求书

1.利用噪声提高稳健估计的方法，其特征在于，包含如下步骤：

步骤1：记录含有异常值的样本观测数据x＝{x₁，x₂，...，x_n}及其长度n，建立位置参数模型：

x_i＝θ+w_i,i＝1,2,...,n

其中：

背景噪声w_i,i＝1,2,...,n是相互独立的随机变量并且具有相同的厚尾分布或者污染分布，w_i的概率密度函数为f_w，设定预估参考参数θ；

步骤2：确定背景噪声w_i的分布模型，选择合适的稳健M-估计量在观测数据x中加入具有噪声水平为d的噪声序列η＝{η₁,η₂,...,η_n}后，计算此时估计量的均方误差MSE：

其中：

为估计量的方差项，为偏差项；

步骤3：基于步骤2，对噪声分布提出假设：

(1)假设背景噪声w_i的概率密度函数f_w是对称的，具有厚尾特性；

1)选择无偏的稳健M-估计量，其对应的得分函数为ψ；

2)将L个选定的具有得分函数ψ的M-估计量并联，构成并联子系统，每个估计单元具有相同的输入观测数据x，对每个估计单元的输入序列x中加入独立同分布的噪声序列η_l＝{η_1l,η_2l,...,η_nl}后，得到一组新的样本数据y_l＝{y_1l,y_2l,...,y_nl}，其中y_il＝x_i+η_il＝θ+z_il，z_il＝w_i+η_il，i＝1,2,...,n，z_il是加入加性噪声η_il后得到的复合噪声随机变量，具有概率密度函数f_z；得到L个M-估计量的输出将所有输出计算统计平均，建立系统的估计统计量：

3)此系统估计量的MSE偏差项为零，计算此估计量方差与未加噪声时的最大似然估计量的方差之比，称之为该估计量的相对渐近效率：；

其中：

n为样本长度，J(f_w)为概率密度函数f_w的Fisher信息，L为并联估计量的数目，E_ω、E_η、E_z分别是对背景噪声w_i的概率密度函数f_w，加性噪声η_il的概率密度函数f_η，以及复合噪声z_il的概率密度函数f_z的均值，即

4)渐近效率是关于噪声水平d的非单调函数，调节噪声水平d到某一特定值，渐近效率得到提高；

(2)假设背景噪声w_i是非对称的ε-污染分布模型，污染分布模型是指1-ε比例的数据来源于总体分布为F₀，称为中心分布，ε比例的数据是由未知类型的污染分布Q产生，Q称为污染分布，f₀(x)和q(x)分别为中心分布F₀和污染分布Q对应的概率密度函数，f₀(x)称为中心概率密度函数，q(x)称为污染概率密度函数，这样具有污染分布模型的噪声w_i的概率密度函数为f_w(x)＝(1-ε)f₀(x)+εq(x)，ε为污染比例；

1)选择有界的得分函数ψ对应的M-估计量，ψ函数的界为s，设定样本长度n足够大，MSE的方差渐近趋于零，考虑最坏情况下估计量的偏差，即最大渐近偏差b_ε；

2)在每个观测数据中加入加性噪声η_il后，由于步骤3的(2)考虑一个M-估计量节点的情况，即并联估计量数目L＝1，下标l取值只为1，那么在这种情况下加性噪声η_il简记为η_i，复合噪声z_il简记为z_i，计算复合噪声z_i仍然是一个具有ε-污染分布的随机变量，它具有概率密度函数f_z(x)＝(1-ε)f_z0(x)+q(x)，f_z0为噪声z_i对应的中心概率密度函数，计算其中心概率密度函数进而计算M-估计量的最大渐近偏差b_ε为如下等式关于b的解：

特别的对于具有得分函数ψ(x)＝sgn(x)的中值估计量的最大渐近偏差为：其中为累积分布的反函数；

3)所加加性噪声η_i存在一个最优的水平d^opt＝arg minb_ε，在此噪声水平下可以得到最大渐近偏差的最小值，会大大减小估计量的最大渐近偏差。